Ecuación lineal

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la cual cada término es una constante o el producto de una constante y (el primer poder de) una variable sola.

Las ecuaciones lineales pueden tener una o varias variables. Las ecuaciones lineales ocurren con la gran regularidad en matemáticas aplicadas. Mientras se levantan completamente naturalmente modelando muchos fenómenos, son particularmente útiles ya que muchas ecuaciones no lineales se pueden reducir a ecuaciones lineales suponiendo que las cantidades del interés varíen a sólo un pequeño grado de algún estado "de fondo". Las ecuaciones lineales no incluyen exponentes.

Ecuaciones lineales en dos variables

Una forma común de una ecuación lineal en las dos variables x y y es

:

donde el m y b designan constantes. El origen del nombre "lineal" viene del hecho que el juego de soluciones de tal ecuación forma una línea recta en el avión. En esta ecuación particular, el m constante determina la cuesta o el declive de esa línea, y el término constante "b" determina el punto al cual la línea cruza el eje Y, por otra parte conocido como la y-intersección.

Ya que los términos de ecuaciones lineales no pueden contener productos de variables distintas o iguales, ni ningún poder (además de 1) u otra función de una variable, ecuaciones que implican términos como el xy, x, y, y pecar (x) son no lineales.

Formas para 2das ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales se pueden volver a escribir usando las leyes del álgebra elemental en varias formas diferentes. Estas ecuaciones a menudo se refieren como las "ecuaciones de la línea recta." En lo que sigue, x, y, t, y θ son variables; otras cartas representan constantes (números fijos).

Forma general

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Los:where A y B no son ambos iguales al cero. La ecuación por lo general se escribe de modo que Un ≥ 0, según la convención. El gráfico de la ecuación es una línea recta, y cada línea recta puede ser representada por una ecuación en la susodicha forma. Si A es distinto a cero, entonces la x-intersección, es decir la x-coordenada del punto donde el gráfico cruza el eje X (donde, el y es el cero), es −C/A. Si B es distinto a cero, entonces la y-intersección, que es la y-coordenada del punto donde el gráfico cruza el eje Y (donde x es el cero), es −C/B, y la cuesta de la línea es

−A/B.

Forma estándar

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Los:where A y B no son tanto iguales al cero, A, B, como C son números enteros coprime, y A es no negativo (si el cero, B debe ser positivo). La forma estándar se puede convertir a la forma general, pero no siempre a todas las otras formas si A o B son el cero. Vale la pena notar que, mientras el término ocurre con frecuencia en el nivel escolar libros de texto del álgebra de los EE.UU, la mayor parte de líneas no pueden ser descritas por tales ecuaciones. Por ejemplo, la línea x + y = √ no puede ser descrita por una ecuación lineal con coeficientes del número entero ya que el  es irracional.

Forma de la intersección inclinada

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El:where el m es la cuesta de la línea y b es la y-intersección, que es la y-coordenada de la posición donde la línea cruza el eje Y. Esto se puede ver dejando x = 0, que inmediatamente da y = b. Puede ser provechoso pensar en esto en términos de y = b + mx; donde la línea proviene en (0, b) y se extiende externo en una cuesta del m. Las líneas verticales, teniendo la cuesta indeterminada, no pueden ser representadas por esta forma.

Forma inclinada por el punto

::

El:where el m es la cuesta de la línea y (x, y) es cualquier punto en la línea.

La forma de la cuesta del punto de:The expresa el hecho que la diferencia en la coordenada de y entre dos puntos en una línea (es decir) es proporcional a la diferencia en la coordenada de x (es decir). La proporcionalidad constante es el m (la cuesta de la línea).

Forma de dos puntos

::

Los:where y son dos puntos en la línea con ≠. Esto es equivalente a la forma inclinada por el punto encima, donde dan explícitamente la cuesta como.

Forma de la intersección

::

: donde a y b deben ser distintos a cero. El gráfico de la ecuación tiene la x-intersección a y la y-intersección b. La forma de la intersección se puede convertir a la forma estándar poniéndose un = 1/a, B = 1/b y C = 1.

Forma paramétrica

::

: y

::

:Two ecuaciones simultáneas en términos de parámetro variable t, con m inclinado = V / T, x-intersección (VU−WT) / V y y-intersección (WT−VU) / T.

El:This también se puede relacionar con la forma de dos puntos, donde T = p−h, U = h, V = q−k, y W = k:

::

:and

::

El:In este caso t varía de 0 al punto (h, k) a 1 al punto (p, q), con valores de t entre 0 y 1 interpolación que provee y otros valores de t extrapolación que provee.

Forma polar

::

El:where el m es la cuesta de la línea y b es la y-intersección. Cuando θ = 0 el gráfico será indeterminado. La ecuación se puede volver a escribir para eliminar discontinuidades:

::

Forma normal

El:The normal para una línea dada se define para ser el segmento más corto entre la línea y el origen. Dan por la forma normal de la ecuación de una línea recta:

::

: donde θ es el ángulo de inclinación del normal, y p es la longitud del normal. La forma normal puede ser sacada de la forma general dividiendo todos los coeficientes por

::

La forma de:This también se llama la forma del estándar de Hesse, después del matemático alemán Ludwig Otto Hesse.

2da forma del determinante del vector

La ecuación de una línea también se puede escribir como el determinante de dos vectores. Si y son puntos únicos en la línea, entonces también será un punto en la línea si lo siguiente es verdad:

::

La manera de:One de entender esta fórmula es usar el hecho que el determinante de dos vectores en el avión dará el área del paralelogramo que forman. Por lo tanto, si el determinate iguala el cero entonces el paralelogramo no tiene área, y esto pasará cuando a vectores estén en la misma línea.

Para ampliar esto podemos decir esto, y. Así y, entonces la susodicha ecuación se hace:

:

Así,

::

Ergo,

::

Entonces la división de ambo lado por causaría la “Forma De dos puntos” mostrada encima, pero la salida de ello aquí permite que la ecuación sea todavía válida cuando.

Casos especiales

::

: Esto es un caso especial de la forma estándar donde un = 0 y B = 1, o de la intersección inclinada se forman donde el M inclinado = 0. El gráfico es una línea horizontal con la y-intersección igual a b. No hay ninguna x-intersección, a menos que b = 0, en cuyo caso el gráfico de la línea es el eje X, y por tanto cada número real es una x-intersección.

::

: Esto es un caso especial de la forma estándar donde un = 1 y B = 0. El gráfico es una línea vertical con la x-intersección igual a a. La cuesta es indeterminada. No hay ninguna y-intersección, a menos que un = 0, en cuyo caso el gráfico de la línea es el eje Y, y por tanto cada número real es una y-intersección.

:: y

: En este caso todas las variables y las constantes han anulado, dejando una declaración trivialmente verdadera. La ecuación original, por lo tanto, se llamaría una identidad y uno no consideraría normalmente su gráfico (sería el xy-avión entero). Un ejemplo es 2x + 4y = 2 (x + 2y). Las dos expresiones a ambos lados del signo igual siempre son iguales, pase lo que pase valores se usan para x y y.

::

Las situaciones de:In donde la manipulación algebraica lleva a una declaración tal como 1 = 0, entonces la ecuación original se llaman inconsecuentes, significando que es falso para cualquier valor de x y y (es decir, su gráfico sería el juego vacío). Un ejemplo sería 3x + 2 = 3x − 5.

Conexión con funciones lineales

Una ecuación lineal, escrita en la forma y = f (x) cuyas cruces del gráfico a través del origen, aquel es cuya y-intersección es 0, tiene las propiedades siguientes:

:

y

:

donde ser cualquier escalar. Se llama una función que satisface estas propiedades una función lineal (u operador lineal, o más generalmente un mapa lineal). Sin embargo, las ecuaciones lineales que tienen y-intersecciones distintas a cero no tendrán propiedad encima y de ahí no son funciones lineales en este sentido.

Ecuaciones lineales en más de dos variables

Una ecuación lineal puede implicar más de dos variables. La ecuación lineal general en variables n es:

:

En esta forma, a, a, …, ser los coeficientes, x, x, …, x es las variables, y b es la constante. Al tratar con tres o menos variables, es común sustituir x por sólo x, x con y y x con z, como apropiado.

Tal ecuación representará un hiperavión dimensión (n–1) en el espacio Euclidiano n-dimensional (por ejemplo, un avión en el de 3 espacios).

En la nota del vector, esto se puede expresar como:

:

donde está un vector normal al avión, son las coordenadas de cualquier punto en el avión y son las coordenadas del origen del avión.

Véase también

Enlaces externos


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